前言
在 深入學習 LSD-SLAM - 2 裡面，我們簡單介紹了 Direct Method，先初步地了解這個方法的大致意義，今天再讓我們更深入一點，開始跟 paper 的內容銜接，之後會慢慢越來越深入好玩！
Spiral learning
因為這次剛好也是我第一次真正來學 SLAM 相關技術，以前都只是大略看看，沒有真正學通的感覺，所以也想跟大家分享一下個人學習的心得。
大家或多或少應該都經歷過一個情境 - 你要學習一個東西，但是因為這個東西並不是你熟悉的，所以你很容易在還沒學通前就卡住。但是隨著你用各種方法（例如：找不同的資料、上論壇發問、找厲害的朋友問、自己慢慢沉思等等），你會在某個時刻突然通某些原本不通的點。
啊為什麼要說這件事呢?
因為如果你可以看得到自己是怎麼學習的，你才有機會優化自己的學習方法，或至少能更好地安排時間來學習困難的技術。我們的學習過程往往不會是一直線，因為你一開始就是不會，才需要學，那又怎可能容易讓你一帆風順地從不會學到會。就算修課，老師已經盡量將課程內容整理清楚，也不一定完全適用於你的學習，所以你還是需要作一些額外的變通來幫助自己真正學通。
有人把這種學習的過程稱作 Spiral learning，Google 一下就可以看到很多 相關的資料。
像我自己目前就比較喜歡用時間來沉澱，然後在適當的時機再次學習，往往就能達到更好的效果，這樣的習慣在面對真正困難的題目的時候，比較容易有機會學通。雖然代價是更長的時間，不過只要願意優化，總是有機會再找出優化學習法的機會。我覺得有一篇文章 - 《時間與節奏的力量》把我想說的概念用另一種方式很清楚地再說一次，推薦給想要解決困難問題的朋友！
接下來我們先切回正題，隨著這個系列文的進展，我們會一起越來越深入 LSD SLAM！
再訪 Direct Method
一般來說，我們要學習一個東西，需要先抓到他的主要概念。像是 Direct method，我們總是要先見林，比較知道怎麼看裡面的樹。如果你有點忘記上次說了什麼，可以 回去翻翻。
首先，我們先回憶一下，現在的目的是什麼；
- 是要定位相機 pose，並同時定位
- 為達目的，這邊需要用影像資訊來估計 pose
- 為了估計 pose，需要計算 photometric error
然後，我們就接到論文中的這個公式了：
裡面的 $i$ 就是指 pixel 的 index，也就是說，這個公式是已知 $\xi$ （兩張影像之間的相機 pose 轉換），要計算在這個 $\xi$ 下，所有兩張影像中兩兩對應的 pixel 值相減完的總和，可以想像成是殘餘的誤差（residual）。對第 $i$ 個 pixel 來說，殘餘誤差就是 $ r_i(\xi) $，所以 $E(\xi)$ 就是所有殘餘誤差平方的總和。
$\xi$、$\omega$ 是什麼?
雖然我們現在大致上知道上面公式的意義，但是眼尖的讀者會發現裡面有一些不明的定義，例如 $\xi$ 以及 $\omega$。首先讓我們翻翻論文，他前面就有先提到這兩者：
很顯然，因為 $\omega$ 裡面需要用到 $\xi$，所以應該先了解他，再來了解 $\omega$。在這邊，我們暫且先把 $\xi$ 想成是 $G$，是一種 transform。然後 $\omega$ 是一種 warping，對深度為 $d$ 的點 $p$ 進行 $\xi$ 的 transform。
再度深入 $\xi$
上一個小段落裡，我們知道 $\xi$ 大概是跟 $G$ 有點關係，但是關係還不明確，只有一個糊糊的概念，現在就讓我們來理清楚。
3D Rigid body transform
要弄清楚 $G$ 跟 $\omega$ 的關係，我們要先弄懂 $G$ 跟 $\omega$ 分別是什麼，然後才能看關係。所以我們從比較簡單的 $G$ 開始。
$G$ 就是一個可以對三維世界中的任意一點 $x$，做一個操作，使得 $x$ 點被轉換到 $x^\prime$：
從 這個網頁 可以看到對一群點做一樣的 transform 的效果。
李群與李代數
好，上面講的這個 transform 我們已經懂了，下一個問題就是，$SO(3)$ 跟 $\mathfrak{se}(3)$ 又是什麼東西呢？以下我們依次簡介：
群：同一種東西的集合再加上同一種運算所構成的結構。記成 $(A,\cdot)$，要注意的是， $\cdot$ 運算需要滿足幾個條件，其中一個是封閉性：
$$\forall a_1, a_2, \quad a_1 \cdot a_2 \in A$$
剩下的我們等有需要再提。
$SO(n)$：特殊正交群，也就是 $n$ 維空間上的旋轉矩陣構成的群。所以你可以想像，你手上有一群 $n \times n$ 的矩陣，每個都符合下式中旋轉矩陣的特性，那這一群矩陣，跟這群矩陣可以做的運算就構成了 $SO(n)$。
$\begin{equation} SO(n) = { \mathbf{R} \in \mathbb{R}^{n \times n} | \mathbf{R R}^T = \mathbf{I}, det(\mathbf{R})=1 } \end{equation}$
$SE(n)$：概念上在 $SO(n)$ 的旋轉矩陣上加上一個平移向量。例如 $SE(3)$ 的定義如下。
- $\mathfrak{so}(3)$ 跟 $\mathfrak{se}(3)$：李代數，他的定義是在單位矩陣處的正切空間（tangent space），這很難簡單敘述，建議有興趣的讀者可以去看看 這篇文章，之後有需要我再仔細描述。
所以！綜合以上所述，你會知道原來 $G$ 就是 $SE(3)$ 這種群，可以對三維空間中的點做旋轉和平移。然後，$\xi$ 是 $\mathfrak{se}(3)$ ，就是被定義在 $SE(3)$ 單位矩陣位置的 tangent space。
你可能想問，我們明明直接使用 transform，然後想辦法計算出 $E(\xi)$ 就好了，何必用到什麼李群或是李代數呢？
其實，問題就在於，我們想要優化的 transform 有 6 個變數，你想要有效率地優化有 6 自由度的東西，就會需要算導數（之後會引出 Jacobian 矩陣），且因為我們想要優化的目標還具備一些數學上的特性，如果能對他掌握得更好，我們就能更有效率地解決最佳化問題。
我現在的理解只夠說出這樣的解釋，不過隨著之後的系列往下看，我們會更能發掘引進李代數的美妙之處。
再訪 $\omega$
所以，到這邊我們可以對 $\omega$ 更加了解，他其實就只是一個運算，因為 $\xi$ 僅僅定義了這個 transform，但是沒有定義該怎麼對一個點操作。這也是為什麼我們需要 $\omega$。
前面提過，$\omega$ 是一種 warping，對深度為 $d$ 的點 $p$ 進行 $\xi$ 的 transform。之所以要定義深度 $d$，是因為 $p$ 只是一個二維平面上的一點，當然在這篇論文中指的就是影像上的一個 pixel。但是 $\omega \in se(3)$ 顯然需要對三維空間中的一點操作，所以需要 $d$ 的資訊。
總結
這次開始從一個比較 rough 的概念，深入到一點點論文中的細節了。我希望把這系列定位成真正了解論文的一個系列，所以對於有相關基礎的讀者來說可能覺得過程寫得太簡單。不過，網路上太多寫得不清楚的資源了，對基礎不夠的人學起來應該頗痛苦（像我就是），所以還是希望可以提供一個比較完整的系列，也嘗試在裡面使用 spiral learning 的技巧不斷重訪某些觀念、不斷深入。
隨著我們慢慢地進展，我們準備可以把優化 $E(\xi)$ 的各項細節都好好地來通達一下，我們下回再見！
延伸閱讀
- LSD-SLAM深入學習（2）-算法解析
- 視覺 SLAM 中的數學基礎 第一篇 3D 空間的位置表示
- lie group and computer vision : 李群、李代數在計算機視覺中的應用
- Multiple View Geometry - Lecture 3 (Prof. Daniel Cremers)
關於作者：
@pojenlai 演算法工程師，對機器人跟電腦視覺有少許研究，最近在鍛鍊自己的執行力
