用 Javascript 進行邏輯迴歸分析

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前言

上一篇文章中，我們利用 Deeplearn.js 學習了 linear regression，從氣溫與紅茶的關聯性中預測銷量，這次就來練習在機器學習中另一個很基本的方法 - Logistic regression（邏輯分析）。

先來張 Demo 成果圖：

從成果圖中可以看出，所謂的 Logistic regression 與 Linear regression 最大不同就是，邏輯回歸大多用來進行分類，當結果只有兩種時，就是二元分類，當然也有多元分類，這邊以簡單二元分類來做練習。這次的範例參考自 【webAI】deeplearn.js的邏輯回歸

出發總要有個方向，做實驗總要有個想像

還記得小時候剛了解智商的概念時，很喜歡去查查名人們的智商數字，像是愛因斯坦、前美國總統布希等等，想看看這些名人的智商是多少，是不是真的很聰明才能像他們這樣成功。
今天假設我們有一群人的智商資料，現在想要利用這些資料分割出聰明人與笨蛋兩個分類，讓我們之後可以用來判斷一個人是聰明的率高一些，或是愚昧機率高一點，那我們該怎麼做呢？

這時候就可以出動 Logistic regression 來幫我們計算出一個預測模型，用來判斷該人的智商屬於哪個分類的機率比較高。

以迴歸分析來說，我們是希望能由給定一個固定的解釋變數 X，然後求出目標變數 Y 的平均值，是條件期望值的概念，若 Y 的結果是連續性的，我們就能試著透過線性模型去逼近一個剛好符合所有資料的公式。像是上一次的範例中，我們可以用線性模型求出在各種溫度下，紅茶的銷售狀況大約會是多少。

但有些時候，想求得的目標變數是二元或是多元的變數，像是剛剛例子中的聰明 或 笨蛋。如果硬要用線性函數去逼近的話，求得的結果通常會很差，像是下圖這般：

(圖片來源)

所以才有人提出用 sigmoid 這個能將數值侷限在 0 與 1 之間的函數來解決這個問題：

上圖就是一個 sigmoid function，假設我們今天判斷智商 180 代表機率 1 的狀況，而大於機率 0.6 時，就可以算是聰明人（黃色區域），而小於 0.6 的則屬於笨蛋（綠色區域），那今天我們的目標就是要找出一個 Ｘ 軸上的 Z 值，讓我們能根據 input 的 X 特徵值來判斷，若是 X 大於 Z 時，就可說他是聰明人（因為機率高於 0.6）。

這個讓我們找出 Z 值的函數就是我們要找的 Decision Boundary，也就是開頭 Demo 圖中的那條黃色線段！

有關於 Logistion regression 與 Decision Boundary 的詳細內容，我推薦大家閱讀這幾篇 blog，介紹得很簡單易懂：

Machine Learning 學習日記
你可能不知道的邏輯迴歸

大概了解 Logistic 後，那就來利用 deeplearn.js 找出 Decision Boundary 吧!

起手式，先來製作個假資料：

// 建立假資料，1 代表智商 100 分以上，0 代表智商 100 分以下
const data = [] 
for (let i=0; i<200; i++) {
    let tmpX1 = Math.random() * 120 + 60;
    let tmpX2 = Math.random() * 120 + 60;
    data.push({
        x: tmpX1,
        y: tmpX2,
        c: tmpX1 > 100 && tmpX2 > 100 ? 1: 0
    });
}

我們隨機產生 200 組 training data，tmp_x 與 tmp_y 可以當作我們要輸入的 Input 特徵 X 向量，代表一個人的智商以及他閱讀的書籍量。

接著初始 deeplearn.js 的資料結構：

/**
 * deeplearn.js 運算
 */
const x_list = [];
const y_list = [];

for (let elem of data) {
    x_list.push([elem.x, elem.y]);
    y_list.push(elem.c);
}
const x_data = dl.tensor2d(x_list);
const y_data = dl.tensor2d(y_list);

再次介紹一下，在 deeplearn.js 中，tensor 是最核心的資料結構，用來表示向量、矩陣或是多維度的資料。

有許多 utility function 可以輔助創建 tensor 資料結構，像是這邊用的是 tensor2d，也就是 2D (2-dimension) 的 tensor。

一個 tensor 其實包含三個成分，也是創建 tensor 時可以傳入的參數：

• values (TypedArray|Array): tensor 的值。可以是 nested array 或 flat array 的結構。

• shape（number[]）:基本上就是該 tensor 的維度。若創建 tensor 時沒有指定維度，就會繼承傳入的 values 維度。也可以像這邊的範例一樣直接使用 tensor${1|2|3|4}d 來創建

• dtype（float32’|’int32’|’bool）：值的型別，當然是 optional。

由於我們要計算的 X 都是一組向量，所以這邊使用 dl.tensor2d 來建置一個二維的 tensor。

接著定義我們要 training 的係數，這邊取為 W 與 B：

// 權重 W 與偏差 B
const W = dl.variable(dl.zeros([1, 2]));
const B = dl.variable(dl.zeros([1]));

dl.variable(initialValue, trainable?, name?, dtype?) 用來創建 training 過程中需要的變數，也可透過參數指定該變數能否在 training 過程中被修改（trainable），預設是 true。

用 dl.zeros([1, 2]) 來創建一個 Shape 為 [1,2] 的填滿零值的 tensor 變數當權重 W，以及維度 1 的偏差變數 tensor B。

再來需要定義目標函數與 loss function：

// 定義目標函數 與 loss function （最一般的 mean square）
// logistic regression 模型
const f = x => dl.sigmoid(W.matMul(x.transpose()));
// loss function（log loss）
const loss = (pred, label) => dl.mean(dl.neg(dl.sum(dl.mul(label, dl.log(pred)))));

目標函數的部分其實就是帶入先前所提的 sigmoid function：

Z 就是我們要找的 boundary，就是權重與 input X 向量做矩陣乘法，所以這裡需要轉置矩陣 x.transpose()。
dl.sigmoid() 就是 deeplearn.js 提供的 sigmoid 函數（如上圖第二行）

將 Z 帶入 dl.sigmoid() 後就獲得了目標函數 f。

而 loss function 的話，一般在 logistic function 都是採用 log loss 的公式，詳細解釋與公式推導推薦閱讀此篇：
用人話解釋機器學習中的 Logistic Regression

照著公式很容易就可以帶出上述的 loss()。

最後就可以開始 training 我們的 data 啦：

// 梯度優化
const learningRate = 0.001
const optimizer = dl.train.sgd(learningRate)

// Training!
for (let i = 0; i < 1000; i++) {
    optimizer.minimize(() => loss(f(x_data), y_data))
}

跟上一篇 linear regression 相同，我們採用dl.train.sgd，是 deeplearn.js 內建的 sgd 演算法模型，接受一個 leanring rate 參數。在每一次的迭代中，係數都會不斷被更新，以找出最佳的結果，而這個 learningRate 參數是用來控制每一次的更新幅度。因此不能夠設得太大，也不能設得太小。

optimizer 可額外輸入兩個參數，分別控制 1. 是否回傳最後的 cost; 2. 限制只更新哪些變數。我們 for loop 1000 次後，利用 dataSync() 來將係數從 Tensor 讀出：

// 用 dataSync 取得 training 結果
const wPredict = W.dataSync();
const bPredict = B.dataSync();
console.log(wPredict, bPredict);

dataSync() 是 Synchronously 的，會 block Browser 的 UI thread，直到 data 被你讀出。另外還有個 Asynchronously 的 data() method，會回傳 promise，當讀取結束時再呼叫 resolves。

因為接下來要用 Highcharts 畫圖，所以需要採用 dataSync() 來 block 著 UI thread 等資料讀出後再繼續。

取出係數的值後，就能算出一條 Decision Boundary 並繪製出來！

根據算出的係數，畫出線條頭尾兩點：

// 計算切割線段
const data_line = [
    [60, parseFloat((180 * wPredict[0] + bPredict[0])/wPredict[1])],
    [180, parseFloat((60 * wPredict[0] + bPredict[0])/wPredict[1])]
];
console.log(data_line);

然後用 HighCharts 繪圖：

// 繪製圖形
const data_scatter1 = [];
const data_scatter2 = [];
for (let elem of data) {
    if (elem.x > 100 && elem.y > 100) {
        data_scatter1.push([elem.x, elem.y]);
    } else {
        data_scatter2.push([elem.x, elem.y]);
    }  
}
        
// Result
const options = {
    title: {
        text: 'deeplearn.js 你是聰明人嗎？'                 
    },
    xAxis: {
        title: {
          text: '智商'                 
        },
        min: 60,
        max: 180
    },
    yAxis: {
        title: {
          text: '書讀得多寡'                 
        },
        min: 60,
        max: 180
    },
    series: [
        {
            type: 'line',
            name: 'Decision Boundary', 
            color: '#fff600',
            data: data_line
        },  
        {
            type: 'scatter',
            name: 'Smart', 
            marker: {
                symbol: 'cross',  
                radius: 4         
            },
            color: '#FF0000',
            data: data_scatter1
        },
        {
            type: 'scatter',
            name: 'Stupid',
            marker: {
                symbol: 'cross',  
                radius: 4         
            },
            color: '#6B8E23',
            data: data_scatter2
        }
    ]
};
// 图表初始化函数
const chart = Highcharts.chart('app', options);

最終成果

See the Pen DeeplearnJS-logistic-regression by Arvin (@arvin0731) on CodePen.

結論

再次使用 deeplearn.js 來實作 Machine Learing 演算法，發現真的要套用這些 library 已經非常容易了，但還是受限於對演算法與數學公式的理解與敏銳度，不過也是透過這樣的實作練習，逼迫自己去嘗試了解這些演算法背後的概念與數學，在過程中也不斷想起以前大學修離散數學的記憶，當時都不太懂要怎麼使用這些數學，現在知道後就能讀得津津有味，也是蠻有意思的！

資料來源

1. 【webAI】deeplearn.js的邏輯回歸
2. GitHub Deeplearnjs
3. Deeplearn js API doc
4. 用人話解釋機器學習中的 Logistic Regression
5. Machine Learning 學習日記
6. 你可能不知道的邏輯迴歸
7. 機器學習-支撐向量機(support vector machine, SVM)詳細推導

關於作者：
@arvinh 前端攻城獅，熱愛數據分析和資訊視覺化

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